Gleichungen
Bei einer Gleichung steht ein Ausdruck auf der linken Seite des Gleichheitszeichens und ein Ausdruck auf der rechten. Erst einmal ist eine Gleichung, eine Behauptung. Ich behaupte das der linke Ausdruck und der rechte Ausdruck gleich sind. Was zu Beweisen wäre ...!
Fangen wir mit einem einfachen Beispiel an:
1 + 2 = 3
OK, jeder kann sehen das diese "Behauptung" richtig ist. Diese Gleichung ist also lösbar.
Wie ist es den hiermit:
12x - 3 = 21
Ups, wie konnte das passieren? Auf der linken Seite steht ein Ausdruck, der eine Variable enhält. Ich muss also ausrechnen wie groß x ist, um festzustellen ob die Gleichung stimmt.
Und was nun? Schaun mer mal ....
Ich habe auf der rechten Seite der Gleichung 21 stehen, und auf der linken Seite 12x - 3. Das heißt, die beiden Ausdrücke sollen gleich sein. Wenn ich also auf beiden Seiten dasselbe tue, bleiben die Ausdrücke immer noch gleich.
Ich könnte also auf beiden Seiten zum Beispiel + 3 rechenen.
12x - 3 = 21
12x - 3 + 3 = 21 + 3
Alles OK? Jetzt rechnen wir beide Seiten aus.
12x - 3 = 21
12x - 3 + 3 = 21 + 3
12x = 24
Es bleibt also 12x = 24, da 12x - 3 + 3 = 12x + 0 und 21 + 3 = 24.
Jetzt haben wir noch immer das Problem mit dem x auf der linken Seite. Wir hatten gelernt das der Ausdruck 12x, nur die Kurzform von 12 * x ist.
12x - 3 = 21
12x - 3 + 3 = 21 + 3
12x = 24
12 * x = 24
Also ist x, der Wert mit dem ich 12 multiplizieren muss um auf 24 zu kommen. Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. Ich teile 24 durch 12 und erhalte x.
12x - 3 = 21
12x - 3 + 3 = 21 + 3
12x = 24
12 * x = 24
x = 24 / 12
x = 2
Denn 24 / 12 ergibt 2. x ist also gleich 2.
Um zu überprüfen, ob das Ergebnis richtig ist, setzen wir in unsere ursprügliche Gleichung 2 für x ein.
12 * 2 - 3 = 21 (Punktrechnen vor Strichrechnen)
24 - 3 = 21
21 = 21
Diese Gleichung war also lösbar.
Es gibt allerdings auch Gleichungen die nicht lösbar sind. Nehmen wir zum Beispiel:
2x - 2x = 3
Diese Gleichung ist nicht lösbar. Ich kann machen was ich will, ich bekomme als Ergebnis 0 = 3. Und diese Behauptung ist natürlich falsch.
Ob eine Gleichung lösbar ist, kann man in den meisten Fällen nur herausfinden, wenn man die beiden Seiten ausrechnet. Lästig aber notwendig.
Als nächstes beschäftige ich mich mit Funktionen.